11.9 KB · ⇊ 5 parts · ⤓ Micron 11.9 KB · ⤓ HTML 75.7 KB

top

L'mweaurto è il termine mweqfisico con il quale si identifica la collisione di due corpi che si scontrano.

Un'interpretazione più corretta viene fornita dalla mwewmeccanica del continuo: i corpi sono dotati di mwfamwfqelasticità e l'intervallo di tempo durante il quale tali oggetti sono a contatto si compone di un mwfgperiodo di mwfwcompressione, nel quale si compie una mwgadeformazione spesso impercettibile, e di un mwgqperiodo di ritorno elastico durante il quale la forma torna allo stato iniziale.

Viene inizialmente presa in considerazione la classe degli urti mwgwnormali a due corpi, cioè quelli in cui la direzione del moto avviene lungo la normale comune per il punto di contatto sia prima che dopo l'urto in quanto moto unidimensionale, e successivamente si può estendere lo studio agli urti mwhaobliqui a n>2 corpi in d>1 dimensioni.

• Regola di Newton

• Conservazione della quantità di moto

• Equazioni delle velocità

• Equazione dell'impulso

• Forza impulsiva

• Energia cinetica

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Per un urto mwianormale la velocità relativa dei corpi dopo l'urto è proporzionale a quella precedente l'urto attraverso un coefficiente di ritorno legato alle elasticità dei due corpicite-ref-1[1]:

mwka v 1 f − − v 2 f = − − ε ε ( v 1 i − − v 2 i ) , {\displaystyle v_{1f}-v_{2f}=-\varepsilon (v_{1i}-v_{2i}),}

mwkg 0 ≤ ≤ ε ε ≤ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq 1}

Se mwla ε ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} l'urto è detto mwlqmwlgtotalmente anelastico; se mwlw ε ε = 1 {\displaystyle \varepsilon =1} l'urto è detto mwmamwmqelastico;

Negli urti si applica il mwoqprincipio di conservazione della quantità di moto:

mwpa d d t P = 0 ; {\displaystyle {\frac {d}{dt}}P=0;}

dove mwpg P {\displaystyle P} è la mwpwquantità di moto e mwqa t {\displaystyle t} è il tempo.

L'applicazione di tale principio al caso di un urto tra due corpi a coefficiente di ritorno qualsiasi porta alla seguente uguaglianza:

mwra m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f {\displaystyle m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}\;}

dove:

• mwsammwsq1 e mwsgmmwsw2 sono le masse dei corpi 1 e 2;

• mwtqvmwtg1i e mwtwvmwua2i sono le velocità dei corpi prima dell'urto;

• mwugvmwuw1f e mwvavmwvq2f sono le velocità dei corpi dopo l'urto.

La quantità di moto totale dopo l'urto è data dalla quantità di moto iniziale più l'mwvwimpulso totale. Perciò le forze sono uguali e contrarie per i due corpi, e la loro mwwasomma vettoriale è nulla.

Dalle due equazioni precedenti si ricava che:

mwzq v 1 f = ( m 1 − − ε ε m 2 ) v 1 i + m 2 ( 1 + ε ε ) v 2 i m 1 + m 2 {\displaystyle v_{1f}={\frac {(m_{1}-\varepsilon m_{2})v_{1i}+m_{2}(1+\varepsilon )v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}

mwzw v 2 f = ( m 2 − − ε ε m 1 ) v 2 i + m 1 ( 1 + ε ε ) v 1 i m 1 + m 2 {\displaystyle v_{2f}={\frac {(m_{2}-\varepsilon m_{1})v_{2i}+m_{1}(1+\varepsilon )v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}

Che applicata al caso di urto totalmente anelastico si traduce in:

mwaw v 1 f = m 1 v 1 i + m 2 v 2 i m 1 + m 2 {\displaystyle v_{1f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}

mwbg v 2 f = m 1 v 1 i + m 2 v 2 i m 1 + m 2 {\displaystyle v_{2f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}

e quindi,mwca :mwcq v 1 f = v 2 f {\displaystyle v_{1f}=v_{2f}\;} in particolare semwcg :mwcw v 1 i = − − v 2 i {\displaystyle v_{1i}=-v_{2i}} , allora: mwda v 1 f = v 2 f = 0 {\displaystyle v_{1f}=v_{2f}=0}

Applicata invece al caso di urto elastico si traduce in:

mwea v 1 f = ( m 1 − − m 2 ) v 1 i + 2 m 2 v 2 i m 1 + m 2 {\displaystyle v_{1f}={\frac {(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}

mwew v 2 f = ( m 2 − − m 1 ) v 2 i + 2 m 1 v 1 i m 1 + m 2 {\displaystyle v_{2f}={\frac {(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}

se poimwfq :mwfg v 1 i = − − v 2 i ∧ ∧ m 1 = m 2 {\displaystyle v_{1i}=-v_{2i}\land m_{1}=m_{2}} , allora: mwfw v 1 f = − − v 2 f = v 2 i {\displaystyle v_{1f}=-v_{2f}=v_{2i}}

Si capisce perciò meglio come ε sia un fattore legato all'elasticità dell'urto.

Dalle equazioni delle velocità:

mwhq J 2 = m 1 v 1 f − − m 1 v 1 i = ( 1 + ε ε ) ( v 1 − − v 2 ) m 1 m 2 m 1 + m 2 = ( 1 + ε ε ) a 1 t m 1 m 2 m 1 + m 2 ; {\displaystyle J_{2}=m_{1}v_{1f}-m_{1}v_{1i}=(1+\varepsilon )(v_{1}-v_{2}){\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=(1+\varepsilon )a_{1}t{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}};}

dove:

• mwiqmwig a 1 {\displaystyle a_{1}} è l'accelerazione impulsiva che riceve l'altro corpo (media, supposta costante durante l'urto);

• mwjat rappresenta la durata dell'urto;

Si può verificare facilmente infatti chemwjg :

mwkq J 1 = m 1 v 1 f − − m 1 v 1 i = ( 1 + ε ε ) ( v 2 − − v 1 ) m 1 m 2 m 1 + m 2 = − − J 2 ; {\displaystyle J_{1}=m_{1}v_{1f}-m_{1}v_{1i}=(1+\varepsilon )(v_{2}-v_{1}){\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-J_{2}\;;}

il principio di conservazione della quantità di moto che abbiamo imposto precedentemente.

Se si considera un sistema di bersaglio 2 molto più grande del proiettile 1, l'mwlqimpulso infinitesimo è

mwma d J = ( 1 + ε ε ) d v m 1 m 2 m 1 = ( 1 + ε ε ) m 2 d v ; {\displaystyle dJ=(1+\varepsilon )dv{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}}}=(1+\varepsilon )m_{2}dv;}

ma allora:

mwna F = d J d t = ( 1 + ε ε ) m 2 d v d t = ( 1 + ε ε ) m 2 a 21 ; {\displaystyle F={\frac {dJ}{dt}}=(1+\varepsilon )m_{2}{\frac {dv}{dt}}=(1+\varepsilon )m_{2}a_{21};}

dove mwngmwnw a 21 {\displaystyle a_{21}} è l'accelerazione relativa: a parità di questa, la forza impulsiva è perciò massima e doppia per un urto elastico rispetto ad un urto perfettamente anelastico.

Affinché l'mwogenergia cinetica totale dei corpi rimanga invariata (e quindi le velocità dei due corpi dopo l'urto abbiano o mwowdirezione o mwpaverso o intensità diverse tra loro), si deve avere un mwpqurto elastico, e viceversa, come dimostra questa catena di doppie implicazioni:

mwqa T f = m 1 v 1 f 2 2 + m 2 v 2 f 2 2 = 1 2 m 1 ( ( m 1 − − m 2 ) v 1 i + 2 m 2 v 2 i m 1 + m 2 ) 2 + 1 2 m 2 ( ( m 2 − − m 1 ) v 2 i + 2 m 1 v 1 i m 1 + m 2 ) 2 = m 1 v 1 i 2 2 + m 2 v 2 i 2 2 = T i {\displaystyle {\begin{aligned}T_{f}&={\frac {m_{1}v_{1f}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2f}^{2}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{m_{1}}\left({\frac {(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{m_{2}}\left({\frac {(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\right)^{2}\\&={\frac {m_{1}v_{1i}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2i}^{2}}{2}}=T_{i}\end{aligned}}}

Se l'mwqgenergia cinetica dei corpi è stata parzialmente dissipata nell'urto, allora si parla genericamente di mwqwurto anelastico. In quest'ultimo caso, si può dimostrare analogamente che l'energia cinetica dissipata è la massima possibile (dovendo rispettare la conservazione della quantità di moto totale) nel caso di urto mwratotalmente anelastico, poiché i due corpi procedono alla stessa velocità dopo l'urto. Secondo il mwrqprimo principio della termodinamica, la parte di energia cinetica dissipata viene convertita in mwrgenergia interna dei corpi coinvolti nell'urto, cioè in generale in parte in mwrwcalore e in parte in mwsalavoro termodinamico dei corpi stessi.

cite-note-11. ↑ Murray Spiegel, Meccanica razionale, ETAS 1974

• mwugUrto elastico

• mwvaUrto anelastico

• mwvgSezione d'urto

• mwwaTeoria cinetica

• mwwgQuantità di moto

• mwxaEnergia cinetica

Altri progetti

• Wikiversità

• Wikimedia Commons

• Wikiversità contiene risorse su urto

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su urto

• citerefbritannica-com(EN) collision, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.